Trovata in questo modo quella che potremmo chiamare "distanza focale", prendendo i termini in prestito dal capo fotografico, il problema è quello di orientare un sistema di riferimento con origine nel punto di vista e con gli assi passanti attraverso i punti di fuga sul piano di proiezione, il che equivale a dire un sistema ugualmente orientato rispetto a quello dell'oggetto.
Consideriamo il sistema di riferimento della lastra o piano di proiezione, e cioè gli assi XL e ZL della fig. 4. Trasliamo della misura d questo sistema, portando così l'origine su O. L'asse YL coincide con l'asse ottico e "buca" il piano nel punto P, che corrisponde al centro della lastra fotografica.
Ricapitolando, gli elementi necessari sono:
1) il centro del' immagine
2) almeno due coppie di segmenti che concorrono alla fuga dello stesso piano.
Come si è già visto, non è indispensabile conoscere a priori la distanza focale, anche se il suo noto valore reale può essere usato come ulteriore controllo sui calcoli. In effetti si è cercato di ridurre al minimo gli elementi necessari a priori, aumentando quelli deducibili dalla immagine stessa.
Tornando a riferirci alla fi. 4, per orientare un sistema parallelamente all'oggetto, dobbiamo portare l'asse ottico a coincidere con l'asse y del sistema, passante per f. Ciò equivale a trovare due angoli, che chiameremo beta e alfa, che sono quelli di rotazione verticale ed orizzontale. L'angolo beta può essere calcolato tramite i cateti D e C del triangolo rettangolo. In maniera analoga, possiamo trovare l'angolo alfa, utilizzando il cateto A, e l'ipotenusa del triangolo precedente, presa, questa volta, anch'essa come cateto.
Il sottoprogramma seguente calcola i parametri d'orientamento del sistema XYZ rispetto al piano di proiezione:
Trovati in questo modo gli angoli di rotazione, abbiamo completato la ricerca dei parametri necessari. Infatti, per ottenere una visione prospettica di un oggetto avremmo bisogno delle coordinate del punto di vista (che noi imponiamo uguali a zero), degli angoli di definizione della posizione dell'asse ottico, e della distanza focale, ovvero del fattore di ingrandimento dell'immagine proiettata.
Limitandoci a ciò che avviene in pianta (fig. 5), possiamo affermare di conoscere l'immagine HL di un punto dell'oggetto e che le coordinate sulla lastra possono essere considerate spazialmente, aggiungendo come y la distanza focale d. Quindi, il punto HL avrà coordinate XL, d, ZL.
Eseguiamo una trasformazione di coordinate e riferiamo il punto ad un sistema ruotato della quantità alfa. Otterremo così le coordinate X2 e Y2. Consideriamo ora i triangoli rettangoli simili, che hanno le ipotenuse formate dal raggio visuale passante per il punto reale dell'oggetto e per l'occhio; tra essi possiamo imporre la proporzione tra i lati:
X2 Y2 Z2
------ = -------- = -------
X Y Z
Se noi fissiamo arbitrariamente una delle incognite, possiamo trovare le altre due; per esempio, fissando la Y troviamo la X
Y
X = X2 -----------
Y2
Analogamente, potremmo trovare la Z, sempre basandoci sulla stessa Y
Y
Z = Z2 -----------
Y2
In questo modo abbiamo trovato le coordinate spaziali di un punto dell'oggetto. Ora, per restituire tutti gli altri punti, è necessario fare alcune riflessioni. Imponendo arbitrariamente una coordinata non abbiamo fatto altro che scegliere uno degli infiniti oggetti simili che potrebbero dar luogo a quella stessa immagine; dunque, abbiamo trovato un oggetto che ha gli stessi elementi in una certa proporzione, direttamente dipendente dalla coordinata imposta. Se noi restituiamo un altro punto di cui ci è nota la distanza dal primo, possiamo calcolarci la scala di riduzione o di ingrandimento del modello che abbiamo trovato, rispetto al reale.
Il punto G della fig. 5 differisce dal punto H solo per le ascisse, giacendo su di una retta parallela all'asse X. Quindi, ripetendo i calcoli precedenti, "prendendo in prestito" la coordinata Y del punto H, troviamo le altre due coordinate del punto G.
In maniera analoga possiamo percorrere gli spigoli dell'oggetto della fig.2. Il punto L differisce dal G solo per le Y; il punto E differisce da L per le sole Z e così via. Agganciandoci, cioè, ad una delle coordinate costanti che ci sono note, possiamo trovare altri punti dell'oggetto; ciò equivale a muoversi lungo una retta o lungo un piano.
Tornando a quanto dicevamo sulla fotografia della facciata di un edificio, abbiamo così costruito un metodo che ci permette di restituire un prospetto, imponendo come costante la coordinata che individua il piano su cui giace la facciata stessa.
